Моменты инерции относительно параллельных осей

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ Свойства ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Сопротивление бруса различным видам деформации зависит не только лишь от его материала и размеров, да и от формы его поперечных сечений.

Форма поперечного сечения учитывается в таких геометрических свойствах:

- статические моменты площади Sz , Sy ;

- моменты инерции Iz , Iy , Izy , Ir ;

- моменты сопротивления Wz , Wy , Wr .

Статические Моменты инерции относительно параллельных осей моменты площади

Разглядим произвольную плоскую фигуру (поперечное сечение бруса). Малый элемент площади dA в системе координат zOy имеет координаты z и y (рис. 13).

Статический момент площади А относительно оси Oz -это геометрическая черта, которая определяется интегралом

где у - расстояние от простой площадки dA до оси Oz .

Рис.13

Аналогично рассчитывается статический момент площади A относительно оси у:

где z - расстояние Моменты инерции относительно параллельных осей от площадки dA до оси Oy.

Зависимо от расположения осей Oz и Oy статические моменты и могут быть положительными, отрицательными либо приравниваться нулю. Размерность и - [м3], [см3].

Если величины и известны, то координаты центра масс zc , yc сечения (рис. 13) определяются по формулам

; .

Если величины zc , yc известны, то статические моменты площади A определяются по Моменты инерции относительно параллельных осей таким формулам:

; ,

где zc , yc - расстояния от центра масс до осей Oz , Oy соответственно.

Из последних формул видно, что статические моменты площади относительно центральных осей (осей, которые проходят через центр масс) приравниваются нулю.

Разглядим пример (рис. 14). Найти: а) статический момент треугольника относительно оси, которая проходит через его основание, б) расстояние от основания Моменты инерции относительно параллельных осей до центра масс треугольника.

По определению

где - площадь простой площадки;

b(y)-ширина треугольника на расстоянии у от оси Oz определяется из соотношения сторон схожих треугольников:

Рис. 14

, .

Отсюда

;

Как следует, если статический момент известен, тогда

;

Для определения статических моментов сложной фигуры ее разбивают на обыкновенные части (рис. 15), для каждой из которых известны площади Моменты инерции относительно параллельных осей Ai и координаты центров тяжести zci и yci.

Статический момент площади всей фигуры определяется как сумма статических моментов для каждой части:

,

.

Рис. 15

Координаты центра масс zc и yc всей фигуры определяем по таким формулам:

; .

В общем случае координаты центра масс сечения сложной формы рассчитываются так:

; ,

где Ai- площади обычных частей сечения; n - количество обычных частей Моменты инерции относительно параллельных осей, из которых состоит сечение; zci и yci - координаты их центров тяжести в некой общей для всех частей системе координат zOy .

Моменты инерции плоских фигур

Осевые моменты инерции сечения - это геометрические свойства, которые определяются интегралами

где dA - площадь простой площадки; y,z- расстояния от dA (рис. 16) до осей Ozи Oy соответственно.

Рис.16

Полярный момент инерции плоской Моменты инерции относительно параллельных осей фигуры относительно данной точки (полюса 0) - это геометрическая черта, определяемая інтегралом вида

,

где r - радиус-вектор центра масс простой площадки dA.

Осевые и полярные моменты инерции могут иметь только положительные значения.

Если через полюс проведена система прямоугольных координатных осей zиy, то

,

тогда

.

Как следует, полярный момент инерции приравнивается сумме осевых.

Центробежный момент инерции рассчитывается по формуле

и Моменты инерции относительно параллельных осей зависимо от положения осей может быть положительным, отрицательным либо приравниваться нулю.

Вращая оси, можно отыскать такое их положение, при котором = 0. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, именуются главными осями инерции. Главные оси, которые проходят через центр масс сечения, именуются главными центральными осями инерции.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта Моменты инерции относительно параллельных осей ось является одной из основных центральных осей, другая - размещается перпендикулярно к первой и проходит через центр масс сечения.

Размерность , , , - [м4], [см4].

Пример 1:

Найти момент инерции прямоугольника относительно центральных осей y,z, параллельных его сторонам (рис. 17).

Рис.17

По определению

Для прямоугольника ; .

Пример 2: Найти момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через его основание (рис. 14).

Выделим Моменты инерции относительно параллельных осей простую площадку, параллельную обозначенной оси,

,

где b(y) - ширина треугольника на расстоянии y от оси Oz.

Рассматривая подобные треугольники, имеем такие соотношения меж их сторонами:

; .

Момент инерции по определению

;

Для треугольника .

Пример 3: Найти момент инерции круга относительно его центра и центральных осей (рис. 18).

Выделим простую площадку в виде нескончаемо узкого кольца с Моменты инерции относительно параллельных осей радиусом r и шириной dr. Площадь такового элемента

Полярный момент инерции по определению

Рис. 18

Понятно, что . Относительно круга в итоге симметрии

Как следует для круга

При определении моментов инерции сложных сечений (рис. 15) последние можно разбить на обыкновенные части, моменты инерции которых известны. Момент инерции сложной фигуры приравнивается сумме моментов инерции ее составляющих частей, другими Моменты инерции относительно параллельных осей словами

.

Если в сечении есть отверстие, его считают частью фигуры с отрицательной площадью.

Моменты инерции относительно параллельных осей

Пусть известны моменты инерции относительно центральных осей z1 , y1, а конкретно

Нужно найти моменты инерции относительно осей z , y, которые параллельны центральным (рис. 19).

Рис. 19
Координаты хоть какой точки в новейшей системе zOy можно Моменты инерции относительно параллельных осей выразить через координаты в центральных осях z1Oy1 ; ,

где - расстояния меж осями z, z1, y и y1, соответственно, либо координаты начала координат z1Oy1 точки O1 , в системе координат z O y .

Подчеркнем, что координаты во всех формулах необходимо подставлять, беря во внимание их знаки.

Момент инерции Iz по определению

Статический момент приравнивается нулю Моменты инерции относительно параллельных осей, так как он рассчитывается относительно центральной оси Oz1 .

Как следует, .

Аналогично ,

.

Момент инерции фигуры относительно случайной оси приравнивается моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния меж этими осями.

Центробежный момент инерции относительно случайной системы взаимно перпендикулярных осей приравнивается центробежному моменту инерции Моменты инерции относительно параллельных осей относительно центральных осей, параллельных данным, плюс произведение площади фигуры на координаты ее центра масс в новых осях.

Пример. Найти момент инерции прямоугольника относительно оси Oz, которая проходит через его сторону CD (рис. 20).

.

Из примера лицезреем, что момент инерции сечения относительно центральной оси, всегда будет меньше, чем момент инерции относительно параллельных Моменты инерции относительно параллельных осей осей.


molitvi-carya-kulashekhari-ego-bozhestvennaya-milost-stranica-7.html
molitvi-pered-ispitaniem-sovesti.html
molitvi-shakri-i-drugih-bogov.html